דיריכלה שהופך לנוימן

מהי העתקת דיריכלה לנוימן?
זוהי העתקה שניתן להגדירה על מגוון רחב של אובייקטים, החל מיריעות ועד גרפים.
נציג דוגמה:
בקורס של משוואות דיפרנציאליות חלקיות לומדים על בעיות עם תנאי שפה מסוג דיריכלה וגם על תנאי שפה מסוג נוימן (אם לא למדתם קורס במד"ח, אתם יכולים לדלג על הפסקה הבאה ולקרוא את המשך התאור).
יהי \( \Omega \) תחום ב \( \mathbb{R}^2 \).  ותהי \( f \) פונקציה שמוגדרת על שפת \( \Omega \)  (כלומר, על  \( \partial\Omega \)).
כעת נמצא פונקציה הרמונית \( g \) שמזדהה עם \( f \) על  \( \partial\Omega \), כלומר \( g|_{\partial\Omega}\equiv f \).
נחשב את הנגזרת הנורמלית של   \( g \) על   \( \partial\Omega \) ונסמנה ב   \( \frac{\partial}{\partial \hat{n}}g|_{\partial\Omega} \).  זוהי גם כן פונקציה על \( \partial\Omega \).
ההעתקה ששולחת כל \( f \) שכזו ל \( \frac{\partial}{\partial \hat{n}}g|_{\partial\Omega} \), נקראת העתקת דיריכלה לנוימן (לפעמים גם קוראים לה אופרטור סטקלוב).

זהו אופרטור מרתק גם מבחינה תאורטית וגם מבחינה שימושית. אופרטור זה מתאר למשל את הקשר בין המתח שמושרה על פני שטח לבין הזרם היוצא הנמדד מפני השטח.  האופרטור משמש גם לשם חישובים הנעשים לצורך דימות (רפואי, גאולוגי, פיסיקלי וכו').
יחד עם זאת, אנחנו נצטמצם בפרויקט למחקר מתמטי טהור של האופרטור הזה.

תארנו מעלה דוגמה של העתקת דיריכלה לנוימן על תחומים בדו-ממד.  יחד עם זאת, העתקה זו מוגדרת גם עבור גרפים מסוגים שונים והאופרטורים במקרה זה יהיו מטריצות ולא יערבו אופרטורים דיפרנציאליים (על-כן, תוכלו לחקור תחום זה גם אם לא למדתם קורס במשוואות דיפרנציאליות חלקיות).
הנה דוגמה לפרויקט בנושא העתקת דיריכלה לנוימן על גרפים.
פרויקט זה ניתן במסגרת תכנית פרויקטי הקיץ של הפקולטה למתמטיקה.  ניתן לעבוד עליו במסגרת התכנית (שבוע בקיץ) או גם מחוץ לתכנית (במשך פרק זמן ארוך יותר כגון סמסטר או יותר).