מודלים כמו-מחזוריים

גבישים כמו-מחזוריים (quasi-crystals) התגלו באופן ניסויי על-ידי פרופ' דן שכטמן עוד ב 1982.
מאז נחקרו ונחקרים שפע של מודלים מתמטיים בהם הכמו-מחזוריות (קווזי-מחזוריות) באה לידי ביטוי.
אחד המודלים שעומד במרכז מחקרנו נקרא אופרטור שרדינגר כמו-מחזורי חד-ממדי…..
ומה זה בדיוק?
אגב, נתאר כאן את המודל המתמטי שבו מתמקד מחקרנו. אם תרצו לקרוא גם על הפיסיקה הרלונטית (שהיא מרתקת, אולם לא נעסוק בה ישירות בפרויקט) אתם מוזמנים לקפוץ לסוף הדף.

נתבונן בפונקציות מהשלמים לממשיים, כלומר ב \(   f\, : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}   \).נגדיר את האופרטור \( H_{\alpha} \) שפועל על פונקציה \( f \) שכזו ומחזיר פונקציה מאותו סוג (שנסמנה \( H_{\alpha}\,f \)) באופן הבא: $$ [H_{\alpha}\,f](n) = f(n-1)+f(n+1)+V(n)f(n) $$ ומיהי \( V(n) \) המצויינת בהגדרת האופרטור?
\(   V\, : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}   \) היא פונקציה מהשלמים לממשיים המכונה פוטנציאל.  בפונקציה זו טמונה הכמו-מחזוריות ובה נמצא כל העניין.דוגמה אחת לפונקציה שכזו היא
$$  1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0  $$ כלומר, רשמנו למעלה 49 ערכים מתוך אינסוף הערכים של \( V \).  הערכים שרשמנו הם בדיוק הערכים \( V(1), V(2), V(3), \ldots , V(49) \).
האם אתם רואים חוקיות?

סדרת הערכים מעלה מבוססת על המספר האי-רציונלי  \( \alpha:=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \).
האם המספר הזה מזכיר לכם משהו?  (נסו להוסיף לו אחת ולחפשו ברשת).
נתאר איך ליצור את הפוטנציאל מעלה מתוך המספר \( \alpha:=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \).
ראשית, ניצור את סדרת המספרים הבאה   \( z(n):=n\alpha\mod 1 \),
כלומר אנו מחשבים את החלק השברי (שלימין הנקודה העשרונית) של כל אחת מהכפולות השלמות של \( \alpha \).
מתוך הסדרה \( z(n) \), נוכל להגדיר את הפוטנציאל על-ידי:
$$V(n)=   \begin{cases}  1, \quad \text{  if   } \,\, 1-\alpha\leq z(n) < 1 \\ 0,  \quad \text{otherwise} \end{cases}  $$

שימו לב שהיה מעין סדר בהגדרה של סדרת הערכים שמהווה את \( z(n) \) אולם סדרת הערכים של הפוטנציאל \( V(n) \) אינה נראית כה מסודרת וודאי אינה מחזורית.
יחד עם זאת, היא בעלת תכונות יפות (שיעזרו לנו במחקר) ומכילה סדר ותבניות חוזרות שאינן גלויות ממבט ראשון ובשל כך היא מכונה כמו-מחזורית.  בהתאמה, האופרטור  \( H_{\alpha} \) שהגדרנו מעלה נקרא אופרטור כמו-מחזורי (קווזי-מחזורי).

אז מה חוקרים?
הבעיות המרתקות שעומדות בפנינו כרוכות בנסיון להבין את הספטקרום של האופרטור \( H_{\alpha} \).
לשם פשטות, ניתן לחשוב על הספקטרום של האופרטור בתור אוסף הערכים העצמיים (המוכללים) של האופרטור.
מסתבר שכאשר לוקחים את הערך האי-רציונלי \( \alpha:=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \) מקבלים שהספקטרום של האופרטור \( H_{\alpha} \) הוא קבוצת נקודות פרקטלית, מעין קבוצת קנטור.
לעומת זאת, אם נבחר \( \alpha:=\frac{p}{q} \) רציונלי (כלומר, \( p \) ו \( q \) טבעיים), ונציב את \( \alpha \) מעלה בנוסחה של הפטנציאל \( V(n) \) נקבל שהפוטנציאל יהיה באמת מחזורי (ולא רק "כמו-מחזורי"). נסו לחשוב מה יהיה המחזור במקרה כזה.
אם נבחן את האופרטור \( H_{\alpha} \) עבור פוטנציאל מחזורי שכזה, נקבל שהפעם הספקטרום שלו הוא פשוט הרבה יותר – הספקטרום יהיה אוסף סופי של קטעים סגורים (למעשה יהיו בדיוק \( q \) קטעים).

כעת, נוכל לצייר את הספקטרומים עבור כל ערכי \( \alpha \) השונים בין \( 0  \)  ל \( 1 \) ולקבל את האיור הבא:

תמונה זו לקוחה מתוך מאמר של Ostlund ו Kim משנת 1985… וכמו שאתם רואים, יש פה מקום לשיפור 😉

איך קוראים את האיור?
הציר האנכי מסמן את ערכי \( \alpha \) השונים בין \( 0  \) ל \( 1 \) .
לכל ערך של \( \alpha \) מסומן הספקטרום של האופרטור \( H_{\alpha} \) המתאים.  תוכלו לנסות לשים לב שעבור ערכים של \( \alpha=\frac{p}{q} \) מקבלים שהספקטרום מורכב מ \( q \) קטעים שונים…
ומה עם ערכי \( \alpha \) אי-רציונליים?  שם נצפה לראות אוסף פרקטלי (שאינו בן מניה) של נקודות.  רק שקצת קשה לראותו באיור הזה 😉
כדי להבין מה קורה בערכים אי-רציונליים, נוכל להתקרב אליהם באמצעות הערכים הרציונליים ולמעשה נצטרך להעזר במושג שנקרא שברים משולבים.

מטרתנו בפרויקט זה היא להבין יותר טוב את האיור (שנקרא אגב, הפרפר של Kohomoto). יש שפע דברים להבין לגביו והמון כיוונים לחקור אותם.
במסגרת המחקר ישנן משימות מתמטיות אנליטיות וגם משימות נומריות (וגם שילובים כמובן).
מתוקף כך, משימות שונות במסגרת המחקר מתאימות לרמות שונות של רקע מוקדם.  המשימות מתאימות לסטודנטים החל מסוף השנה הראשונה של התואר הראשון ואילך.
רקע מוקדם נומרי שיכול לסייע הוא יכולת תכנות בפייתון או במטלב.
אם אתם מעוניינים להשתלב במחקר הזה, אתם מוזמנים לפנות אלי במייל או בטופס הבא.

ואם הכתוב מעלה מעניין אתכם ואתם רוצים ללמוד עוד על הנושא, אבל אין לכם כוח או זמן לעבודת המחקר, אני ממליץ על הספר הפופולרי למחצה הבא:
Butterfly in the Quantum World: The story of the most fascinating fractal

ומה לגבי הפיסיקה שמאחורי המודל?

האופרטור \( H_{\alpha} \) משמש לתאור התנהגותו של חלקיק קוונטי שמוגבל לנוע בתווך חד-ממדי מסוים. אופרטור זה נקרא גם המילטוניאן (וזה המקור לסימונו באות H) ויש לו משמעות של אנרגיה. שני המחוברים הראשונים בהגדרה של \( H_{\alpha} \), כלומר \( f(n-1)+f(n+1) \) מהווים את האנרגיה הקינטית והמחובר האחרון \( V(n)f(n) \) הינו האנרגיה הפוטנציאלית. בתור דוגמה, תוכלו לקרוא על הפיסיקה שמאחורי המודל במאמרים של פרופ' אריק אקרמנס בפקולטה לפיסיקה בטכניון.